অঙ্কটি করে দেখান তো?

উত্তর হবে ৭৮.  আমি কি সঠিক????

বিস্ময়ে নিজের প্রশ্নে নিজে উত্তর দেওয়া যায়?!! ট্রাই করে দেখি তো!

২ বারও উত্তর দেওয়া যায় নাকি?

এই অংকটি করার আগে ভাগশেষ বের করার একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা জানা থাকা দরকার। মনে করুন বলা হল ২৫৪০ কে ১০০ দ্বার ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকে? আমরা সহজেই ভাগ করে বলতে পারি যে ভাগশেষ হবে ৪০। কিন্তু এটাকে অন্যভাবেও বের করা যায়। ২৫৪০ কে আমরা নিচের মত করে লিখতে পারি।

২৫৪০ = (২৫ × ১০০) + ৪০ = ২৫০০ + ৪০

এখন ২৫০০ কে ১০০ দ্বার নিঃশেষে ভাগ করা যায় অর্থাৎ এক্ষেত্রে ভাগশেষ হবে ০। আর ৪০ কে ১০০ দ্বার ভাগ করলে ৪০ ভাগশেষ থাকে।

আরো একটা উদাহরণ দেখা যাক। ৩৪৫ কে ৬ দ্বার ভাগ করলে কত ভাগশেষ থাকে?

৩৪৫ = ৩০০ + ৪২ +  ৩

এখন ৩০০ ও ৪২ কে ৬ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়। আর ৩ কে ৬ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে। আসলে এই কৌশলেই বড় বড় সংখ্যাকে (যেমন প্রশ্নে উল্লেখিত সংখ্যা) ভাগ করলে কত ভাগশেষ থাকে তা আমরা বের করব। আমরা কিছু বিষয় লক্ষ্য করব।

প্রথমত, ৬২৫ × ১৬ = ১০০০০। এর অর্থ হল, ১০০০০ এর যে কোন গুণিতক ৬২৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

দ্বিতীয়ত, ৩৩৩৩ কে ১৬ দ্বারা ভাগ করলে ২০৮ অবশিষ্ট থাকে।

এখন, ৩৩৩৩৩ = ৩০০০০ + ৩৩৩৩ = (৩ × ১০০০০) + ৩৩৩৩ = ৩ × ১০^৪ + ৩৩৩৩

এখানে ৩ × ১০^৪ কে ৬২৫ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় যেহেতু এটি ১০০০০ এর একটি গুণিতক। আর ৩৩৩৩ কে ৬২৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ২০৮।

আবার, ৩৩৩৩৩৩ = ৩০০০০০ + ৩৩৩৩৩ = (৩ × ১০০০০০) + (৩ × ১০০০০) + ৩৩৩৩ = ৩ × ১০^৫ + ৩ × ১০^৪ + ৩৩৩৩

এক্ষেত্রেও ৩ × ১০^৫ ও ৩ × ১০^৪ কে ৬২৫ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়। আর ৩৩৩৩ কে ৬২৫ দ্বারা ভাগ করলে ২০৮ ভাগশেষ হয়।

একই রকম ভাবে লেখা যায়,

৩৩৩৩৩৩৩ = ৩ × ১০^৬ + ৩ × ১০^৫ + ৩ × ১০^৪ + ৩৩৩৩

৩৩৩৩৩৩৩৩ = ৩ × ১০^৭ + ৩ × ১০^৬ + ৩ × ১০^৫ + ৩ × ১০^৪ + ৩৩৩৩

৩৩৩৩৩৩৩৩৩ = ৩ × ১০^৮ + ৩ × ১০^৭ + ৩ × ১০^৬ + ৩ × ১০^৫ + ৩ × ১০^৪ + ৩৩৩৩

উপরের সব সংখ্যাকেই ৬২৫ দ্বারা ভাগ করলে ২০৮ ভাগশেষ হবে। 

এখন ৩৩৩... (৬২৫ টি ৩ সংবলিত সংখ্যা) কে N দ্বারা প্রকাশ করি।

তাহলে, N = ৩ × ১০^৬২৪ + ৩ × ১০^৬২৩ + ৩ × ১০^৬২২ + ... + ৩ × ১০^৬ + ৩ × ১০^৫ + ৩ × ১০^৪ + ৩৩৩৩

এক্ষেত্রেও ৩৩৩৩ ব্যতীত সকল সংখ্যাই ৬২৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে কেননা সেগুলো সবই ১০০০০ এর গুণিতক। আর ৩৩৩৩ কে ৬২৫ দ্বারা ভাগ করলে ২০৮ অবশিষ্ট থাকে। 

তাই উত্তর হল ২০৮।