এই অংক গুলো কিভাবে সমাধান করে?

এগুলো হচ্ছে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার অংক।

নিচে কয়েকটি উদাহরন দেওয়া হল:

(১) সুবিধামতো সাজানো:

i) px-qy+qx-py

= p(x-y)+q(x-y)

= (p+q)(x-y)

(২) (a+b)²ও (a-b)² সুত্র প্রয়োগ:

i) 16x²+20xy+25y²

= (4x)²+2*4*5xy+(5y)²

= (4x+5y)²

ii) x²-√12xy+3

=  x²-2*√3*xy+(√3)²

= (x-√3)²

(৩) a²-b² এর প্রয়োগ:

i) x²-3

=x²-(√3)²

=(x+√3)(x-√3)

ii) a²+2ab-2b-1

= a²+2ab+b²-b²-2b-1

= (a²+2ab+b²)-(b²+2b+1)

= (a+b) ²-(b+1) ²

= (a+b+b+1)(a+b-b-1)

= (a+2b+1)(a-1)

সহজ নিয়ম:

a²+2ab-2b-1

= (a²-1)+(2ab-2b)

= (a+1)(a-1)+2b(a-1)

= (a+2b+1)(a-1)

(৪) ax²+bx+c আকারের রাশির উৎপাদক:

i) x²+7x+12

= x²+3x+4x+12

= x(x+3)+4(x+3)

= (x+4)(x+3)

*** এখানে মধ্যবর্তী 7x কে 3x+4x করে সহজে বিভাজন করা হয়েছে। এ ধরনের বিভাজনকে মধ্যপদ বিভাজন (Middle term breakup) বলে। এখন মাঝে কোন সংখ্যাদ্বয় বসবে তা জানার একটি সহজ উপায় আছে। এক্ষেত্রে শেষের সংখ্যাটিকে এমন দুই উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে যেন যোগফল মাঝের সংখ্যা ও গুনফল শেষের সংখ্যা হয়। যেমন x²+7x+12 রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে 12 কে দুইটি উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। এক্ষেত্রে উৎপাদক হবে 3 ও 4। কারণ শর্তানুযায়ী 3+4=7; যা মাঝের পদ এবং 3*4=12; যা শেষের পদ।

ii) x²+5x+6

= x²+2x+3x+6

= x(x+2)+3(x+2)

= (x+2)(x+3)

বি.দ্র.: অনেকে মনে করে ও এই ভুল করে, এখানে উৎপাদক হবে 1 ও 6। কেননা 6-1=5 হয়। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে তা ভুল। কারণ 6-1=5 হলেও গুনফল হবে 6*(-1)= -6। রাশিটি x²+5x-6 হলে উৎপাদক 1 ও 6 হত। 

iii) 2x²+11x+15

= 2x²+5x+6x+15

= x(2x+5)+3(2x+5)

= (2x+5)(x+3)

*** এখানে ১ম পদে x² না হয়ে 2x² হয়েছে। তাই এখানে 15 এর উৎপাদক বের করা যাবে না। এখানে (15*2)=30 এর উৎপাদক বের করতে হবে। এক্ষেত্রে উৎপাদক হবে 5 ও 6। কারণ শর্তানুযায়ী 5+6=11 এবং 5*6=30।