ডি মরগানের উপপাদ্য কি ব্যাখ্যা করুন?

ডি মরগ্যানের দুটি উপপাদ্য রয়েছে। ১.A ও B দুটি চলকের যোগফলের কমপ্লিমেন্টের ফলাফল সমান চলকগুলোর কমপ্লিমেন্টের গুনফলের সমান। ২.A ও B দুটি চলকের গুনফলের কমপ্লিমেন্টেরর ফলাফল চলকগুলোর কমপ্লিমেন্টের যোগফলের সমান। ----- প্রথম উপপাদ্যঃ কোন বুলিয়ান এক্সপ্রেশনের চলকসমূহের লজিক্যাল অর অপারেশনের কমপ্লিমেন্ট উক্ত চলকসমূহের কমপ্লিমেন্ট মানের লজিক্যাল এন্ড অপাপরেশনের সমান। যেমনঃ কোন বুলিয়ান এক্সপ্রেশনের দুটি চলক X এবং Y হলে (X+Y)′=X′.Y′ হবে। অনুরূপঃ N সংখ্যক চলকের ক্ষেত্রে (X1+X2+ …….. +XN)́ = X1́.X2́…….. XŃ হবে। দ্বিতীয় উপপাদ্যঃ কোন বুলিয়ান এক্সপ্রেশনের চলকসমূহের লজিক্যাল এন্ড অপারেশনের কমপ্লিমেন্ট উক্ত চলকসমূহের কমপ্লিমেন্ট মানের লজিক্যাল অর অপাপরেশনের সমান। যেমনঃ কোন বুলিয়ান এক্সপ্রেশনের দুটি চলক X এবং Y হলে (X.Y)́= X́ +Ý হবে। অনুরূপঃ N সংখ্যক চলকের ক্ষেত্রে (X1.X2. …….. .XN)́ = X1́+X2́+…….. +XŃ হবে। প্রমাণঃ দুই চলকের জন্য বুলিয়ান বীজগণিতের প্রমাণ Truth টেবিলের মাধ্যমে দেখানো হলোঃ https://electronicsbd.files.wordpress.com/2014/10/1222.gif উপরের Truth টেবিল হতে দেখা যায় X এবং Y এর সকল মানের ক্ষেত্রে (X+Y)′=X′.Y′ হয় এবং (X.Y)′= X′+Ý′ হয়। অনুরূপঃ N সংখ্যক চলকের ক্ষেত্রে দেখানো যায় (X1+X2+ …….. +XN)́ = X1́.X2́…….. XŃ এবং (X1.X2. …….. .XN)́ = X1́+X2́+ …….. +XŃ প্রমাণিত। বুলিয়ান বীজগণিতের মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ ও উপপাদ্যসমূহের তালিকাঃ ১। (ক) X+0 = 0+X = X (খ) X.1 = 1.X = X ২। বিনিময় সূত্রঃ (ক) X+Y = Y +X (খ) X.Y = Y.X ৩। বিতরণ সূত্রঃ (ক) X+(Y.Z)= (X+Y).(X+Z) (খ) X.(Y+Z)=(X.Y) +(X.Z) ৪। (ক) X+X′=1 এবং (খ) X.X′=0 ৫। অনুসংগ সূত্রঃ (ক) X+(Y+Z)= (X+Y)+Z=Y+X+Z (খ) X.(Y.Z)= (X.Y).Z=Y.X.Z