सिद्ध कीजिए कि निम्न परिभाषित फलन f : `N to N ` एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही हैं । f (x) = { x + 1 , यदि x विषम हैं x - 1 , यदि x सम हैं ।

f एकैकी हैं : माना `x_(1)` और `x_(2)` प्रांत N के दो स्वेच्छ अवयव हैं कि
`f (x_(1)) = f (x_(2))`
स्थिति I : यदि `x_(1)` और `x_(2)` सम हैं , तब
`f (x_(1)) = f (x_(2))`
`rArr x_(1) + 1 = x_(2) - 1`
`rArr x_(2) - x_(1) = 2 `
जो कि संभव नहीं है क्योंकि विषम और सम प्राकृत संख्याओं का अतंर 2 हैं ।
`therefore x_(1) ne x_(2) rArr f (x_(1)) ne f (x_(2)).`
`therefore f ` एकैकी फलन हैं ।
स्थिति II : यदि `x_(1)` और `x_(2)` दोनों ही विषम हैं , तब
`f (x_(1)) = f (x_(2))`
`rArr x_(1) + 1 = x_(2) + 1 `
`rArr x_(1) = x_(2)`
`therefore f ` एकैकी फलन हैं ।
स्थिति III : यदि `x_(1)` और `x_(2)` दोनों ही सम हैं , तब
`f (x_(1)) = f (x_(2))`
`rArr x_(1) - 1 = x_(2) - 1 `
`rArr x_(1) = x_(2)`
`therefore f ` एकैकी फलन हैं ।
अतः f : `N to N ` एकैकी फलन हैं ।
f आच्छादक हैं : माना y सहप्रांत N का स्वेच्छ अवयव हैं ।
स्थिति I : यदि y विषम हैं , तो ( y + 1 ) सम होगा ।
`therefore` f (y + 1) = ( y + 1) - 1 = y
स्थिति II : यदि y सम हैं , तो y - 1 विषम होगा ।
`therefore f ( y -1 ) = (y - 1) + 1 = y `
अतः प्रत्येक `y in N ` के लिए इसका पूर्ण प्रतिबिंब N में हैं । इसलिए f आच्छादक हैं ।
`therefore f ` एकैकी और आच्छादक फलन हैं । यही सिद्ध करना था ।