मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं । सिद्ध कीजिए कि f : `AxxB to B xx A` , इस प्रकार कि f ( a , b) = ( b , a) एक एकैकी आच्छादी ( bijective ) फलन हैं

Question

मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं । सिद्ध कीजिए कि f : `AxxB to B xx A` , इस प्रकार कि f ( a , b) = ( b , a) एक एकैकी आच्छादी ( bijective ) फलन हैं

मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं । सिद्ध कीजिए कि f : `AxxB to B xx A` , इस प्रकार कि f ( a , b) = ( b , a) एक एकैकी आच्छादी ( bijective ) फलन हैं ।

Monjur Alahi

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2025-01-04 04:42

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Salim Ahmed Kawsar · Accepted Answer · 2023-02-05T15:29:48+06:00

f एकैकी हैं : माना `(a_(1) , b_(1)) "और" (a_(2) , b_(2)) in Axx B `
तब
`f (a_(1) , b_(1)) = f ( a_(2) , b_(2))`
`rArr (b_(1) , a_(1)) = (b_(2) , a_(2))`
`rArr b_(1) = b_(2) "और" a_(1) = a_(2)`
`rArr (a_(1) , b_(1)) = (a_(2) , b_(2))`
अर्थात् `f (a_(1) , b_(1)) = f ( a_(2) , b_(2)) rArr (a_(1) , b_(1) = (a_(2) ,b_(2))`
`therefore f : Axx B to BxxA` एकैकी फलन हैं ।
f आच्छादक हैं : माना `BxxA` का स्वेच्छ अवयव (b ,a ) हैं ।
(b , a) `in B xx A`
`rArr b in B "और" a in A`
`rArr (a , b) in A xx B .`
अतः प्रत्येक ( b ,a ) `in B xx A` के लिए ( a , b) `in A xx B` का अस्तित्व इस प्रकार हैं कि f ( a, b) = (b ,a ) .
`therefore f : AxxB to B xx A ` आच्छादक फलन हैं ।
अतः f आच्छादक फलन हैं । यही सिद्ध करना था ।