দেখাও যে,পূর্ণবর্গ নয় এরূপ ধনাত্মক পূর্ন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা?

দেখাতে হবে যে, পূর্ণবর্গ নয় এরূপ ধনাত্নক পূর্ণ সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা । মনে করি, পূর্ণবর্গ নয় এরূপ ধনাত্নক পূর্ণ সংখ্যা x x এর বর্গমূল √x। ∴ √x মূলদ সংখ্যা বা অমূলদ সংখ্যা। যদি মূলদ সংখ্যা হয় তবে , ধরি, √x = p/q ; যেখানে p ও q পরস্পর সহ মৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q> 1, বা, x=p^2/q^2 [উভয় পক্ষকে বর্গ করে] বা, qx= p^2/q ; [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে] স্পস্টতঃ qx পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p^2/q পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1 ∴ qx এবং p^2/q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ qx ≠ p^2/q ∴ √x এর মান p/q আকারের কোন সংখ্যা হতে পারে না। অর্থাৎ √x≠p/q ∴ √x একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, পূর্ণবর্গ নয় এরূপ ধনাত্নক পূর্ণ সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা। (দেখানো হলো)