ভেক্টর গুণের দিক কেন ভেক্টরদ্বয়ের সাথে লম্ব দিক বরাবর হয়

আচ্ছা?.... আপনাদের মনে কি কখনো প্রশ্ন জেগেছে, গুণ করার এক অদ্ভুত নিয়ম, "ডট গুণন" কিংবা "ক্রস গুণন" মূলত কি? গণিতের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এগুলো কিভাবে কাজ করে? কখন ডট গুণন হবে এবং কখন ক্রস গুণন হবে সেটিও বা কিভাবে নির্ণয় করা হয়? সাধারণ গুণের প্রয়োজনীয়তা আমরা জানি। যেমন, ৩ সংখ্যাটিকে ৫ বার লিখে যোগ করলে হয় (৩+৩+৩+৩+৩)= ১৫, সমাধানটিকে সহজ করার জন্য আমরা লিখি ৩×৫=১৫ । কিন্তু PxQ তথা ক্রস গুণ এবং P.Q তথা ডট গুণের সময় সেটি কি উপলব্ধি করতে পারি? এখানে একটি অদ্ভুত ব্যাপার হচ্ছে, দুইটি ভেক্টর রাশিকে কখনো ডট গুণ আবার কখনো ক্রস গুণ করা হচ্ছে! দুইটি ভেক্টর রাশির ক্রস গুণনে একটি নির্দিষ্ট "দিক" থাকছে, অথচ ঐ ভেক্টর রাশি দুটির ডট গুণনে কোনো "দিক" থাকছে না! কিন্তু কেন???... ভেক্টরে আমার নিজের সবচেয়ে বড় প্রশ্নটি ছিল, "কেন ক্রস গুণনের দিক "ডানহাতি স্ক্রু" নিয়মে ঐ ভেক্টর দুটির দিকের সাথে লম্বদিক বরাবর হয়?" কেন???... আমরা সবাই জানি, সে সকল রাশিকে সাংখ্যিক মান দ্বারা সম্পূর্ণভাবে প্রকাশ করা যায় না, অর্থাৎ রাশিটিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করতে সাংখ্যিক মানের সাথে দিকেরও প্রয়োজন হয়, সে সব রাশিকে সদিক রাশি তথা ভেক্টর রাশি বলে। সুতরাং, প্রতিটি ভেক্টর রাশি তৈরি হয় একটি সাংখ্যিক মান এবং তার একটি দিক (স্থানাংক/কোণ) নিয়ে, ফলে দুইটি সদিক রাশির মধ্যে সাধারণ নিয়মে গুণ করা যায় না। এক্ষেত্রে দুইটি নিয়ম প্রযোজ্য আছে, একটি হচ্ছে স্কেলার গুণ বা ডট গুণ অন্যটি হচ্ছে ভেক্টর গুণ বা ক্রস গুণ। আমি প্রথমেই আমার নিজের প্রশ্নটি অর্থাৎ, ক্রস গুণের দিক কেন ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে ভেক্টরদ্বয়ের সাথে লম্ব বরাবর হয়, সে বিষয়টি নিয়ে আলোচনা করতে চাই। এজন্য আমি টর্কের উদাহরণটি আনতে চাই। আপনারা জানেন টর্ক একটি ভেক্টর রাশি। এর দিক হচ্ছে 'ব্যাসার্ধ ভেক্টর' এবং 'বল প্রয়োগের দিকের' সাথে লম্ব। তাহলে আমার প্রশ্নটিকে এভাবে সাজানো যাক, "টর্কের দিক কেন ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে 'ব্যাসার্ধ ভেক্টর' এবং 'প্রযুক্ত বলের' দিকের সাথে লম্ব বরাবর হয়?" প্রথমেই আমাদের জানতে হবে, টর্ক একটি ভেক্টর রাশি কেন? সত্যিই কি টর্ককে শুধু মান দ্বারা সম্পূর্ণভাবে প্রকাশ করা যায় না? চলুন জানা যাক, টর্ক জিনিসটা সম্পর্কে আপনাদের মনে আছে তো? একটি ঘূর্ণনশীল বস্তু, যেমন আমাদের ঘরে থাকা একটি বৈদ্যুতিক ফ্যান, সেটি কত বল নিয়ে ঘুরছে (Speed নয় কিন্তু!) সেটিই হচ্ছে তার টর্ক। একটি উদাহরণের মাধ্যমে টর্কের গাণিতিক সমীকরণটি উপলব্ধি করা যাক, একটি দরজা, তার কবজাকে কেন্দ্র করে এদিক সেদিক ঘুরতে পারে, তাহলে দরজাকে আমরা বলতে পারি একটি ঘূর্ণন বস্তু এবং কবজাটি হচ্ছে ঘূর্ণন অক্ষ। ধরাযাক, দরজার হাতলটি কবজা থেকে r একক দূরত্বে অবস্থিত। আপনি দরজার ঠিক সামনে দাড়িয়ে দরজার হাতলে এমনভাবে ধরলেন যেন আপনার হাতের সাথে দরজাটি ৯০° কোণ উৎপন্ন করে। এমতাবস্থায় আপনি দরজায় F বল প্রয়োগ করলে দরজায় যে টর্ক উৎপন্ন হয় তার পরিমাণ হচ্ছে, τ = r×F (সাধারণ গুণ) এটি হচ্ছে টর্কের গাণিতিক সমীকরণ। কিন্তু.... আপনি কি খেয়াল করেছেন, দরজা থেকে দূরে দাড়িয়ে অর্থাৎ আপনার হাত দরজার হাতলে রেখে ৯০° কোণ উৎপন্ন না করে দরজাকে ঘুরতে পূর্বের তুলনায় আরও অধিক শক্তি প্রয়োজন হতো? এর অর্থ হচ্ছে, তখন টর্কের মানও কমবেশি হতো! এ ঘটনা থেকে বলা যায়, টর্কের একটি নির্দিষ্ট দিক আছে। ঐ দিক ছাড়া অন্য কোনো দিকে বল প্রয়োগ করলে টর্কেরও পরিবর্তন হবে। সুতরাং, টর্ককে শুধু মান দ্বারা সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায় না, মানের সাথে দিকেরও প্রয়োজন আছে। অর্থাৎ, টর্ক একটি সদিক রাশি বা ভেক্টর রাশি। যদি বলা হয়, F বলটি r ব্যাসার্ধের সাথে θ কোন উৎপন্ন করে তাহলে লম্ব অভিক্ষেপের ধারণা থেকে আমরা বলতে পারি, r ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব দিক বরাবর θ কোণে ক্রিয়ারত F বলের উপাংশ হবে F Sinθ [ যেহেতু, Sinθ= (r এর উপর লম্ব)÷(অতিভুজ F) ] সুতারাং টর্ক, τ = r×F Sinθ কিন্তু এ ইকুয়েশনটিকেই বলা হচ্ছে ক্রস গুণ, তাই ভেক্টরের মাধ্যমে টর্কের মূল সমীকরণটি দাড়ায়, → → → τ = r x F এ পর্যন্ত আমরা যে বিষয়টি বুঝার চেষ্টা করেছি সেটি হচ্ছে টর্ক একটি ভেক্টর রাশি, যার একটি নির্দিষ্ট দিক আছে। কিন্তু আমাদের মূল প্রশ্নটি ছিল টর্কের এই দিক কেন ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে r & F এর লম্ব দিক বরাবর হয়? আসলে F বলটি r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দরজার কোন পাশে প্রয়োগ করা হচ্ছে, সে দিকটি সুষ্ঠুভাবে ব্যখ্যা করার জন্য ডানহাতি স্ক্রু নিয়মটি দ্বারা টর্কের দিক নির্ণয় করা হয়। ডানহাতি স্ক্রু হলো সেই স্ক্রু, যা ঘড়ির কাটার দিকে ঘুরালে ভিতরের দিকে সরে যায় এবং ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে ঘুরালে স্ক্রুটি বাইরের দিকে সরে আসে। যদি ব্যাসার্ধ ভেক্টর r থেকে প্রযুক্ত বল F এর দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘুরে আসলে ডানহাতি স্ক্রু z অক্ষ বরাবর সরে আসে, তবে টর্কের দিক হবে z এর দিক বরাবর। আবার, বিপরীত ভাবে z এর দিকে একটি টর্ক ক্রিয়াশীল হলে এ থেকে আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি, z অক্ষ বরাবর একটি ডানহাতি স্ক্রু সরে আসতে হলে, r ভেক্টর থেকে যে পাশে স্ক্রুটিকে ঘুরতে হয়, সেই পাশে F বলটি ক্ষুদ্রতম কোণে প্রযুক্ত আছে। সুতরাং, ক্রস গুণনের দিক ভেক্টরদ্বয়ের সাথে লম্ব দিক বরাবর হলেও এটি আসলে নির্দেশ করে একটি ভেক্টর অপর একটি ভেক্টরের কোন পাশে ক্রিয়াশীল আছে। নোটিশ করুন, ভেক্টর গুণনের এই দিক কেন ডানহাতি স্ক্রু নিয়মেই ব্যখ্যা করা হলো? আসলে এরকম প্রশ্নের কোনো গাণিতিক ব্যখ্যা থাকে না। যেমন, '5' চিহ্নটিকে কেন 'পাঁচ' মান দ্বারা প্রকাশ করা হলো? এর গাণিতিক কোনো ব্যাখ্যা নেই। যারা সর্বপ্রথম এটি নিয়ে কাজ করেছিলেন, তারা 'পাঁচ' মানের জন্য 5 চিহ্নটি ব্যবহার করেছিলেন। যদি আমরা সবাই একসাথে ধরে নেই, এখন থেকে '6' চিহ্নটি দ্বারা 'পাঁচ' মানকে প্রকাশ করা হবে। তবে সেটি কোনো দোষের হবে না। গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হচ্ছে, কোন চিহ্নটিকে 'পাঁচ' মান দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। ঠিক একইভাবে, ডানহাতি স্ক্রু দ্বারা ভেক্টর গুণের দিক নির্ণয় করার বিষয়টি খুব গুরুত্বপূর্ণ নয়, বরং ভেক্টরদ্বয়ের লম্ব দিক ছাড়া আর অন্য কোনো উপায়ে ক্রস প্রোডাক্টের বৈশিষ্ট্যকে প্রকাশ করা যায় কি-না, সেটি নিয়ে চিন্তা করাটা অধিক গুরুত্বপূর্ণ। আপনাদের কি অভিমত?.. [ এখানের বেশকিছু বিষয় নিজস্ব অভিমত থেকে ব্যখ্যা করার চেষ্টা করেছি। ভুল ত্রুটি থাকলে অবশ্যই শেখার সুযোগ করে দিবেন। ] #গণিতের_প্রতিচ্ছবি --০৩ //ধন্যবাদ, [গণিতের প্রতিচ্ছবি --০২ https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=670771817039791&id=100023209368218] _আতিক,