কোন ধনাত্নক সংখ্যাকে বর্গ,ঘন করলে এর মান বেড়ে যায় আর ঋনাত্নক সংখ্যাকে ঘন,বর্গ করলে এর মান আরো কমে যায় কেন?

ঋনাত্বক সংখ্যার সাথে ঋনাত্বক সংখ্যা গুন করলে ধনাত্বক সংখ্যা হয়। আবার ধনাত্বক সংখ্যার সাথে ঋনাত্বক সংখ্যা গুন করলে সর্বদা ঋনাত্বক সংখ্যা হয়।

যেমন- (-2) * (-3) = 6 আবার, 2 * (-3) = -6

এজন্য ঋনাত্বক সংখ্যাকে বর্গ করলে ধনাত্বক সংখ্যা পাওয়া যায়। অর্থাৎ (-x)^2 = x^2 সুতরাং (-x^2)^n = x^2n

অর্থাৎ, ঋনাত্বক সংখ্যার উপর জোড় পাওয়ার থাকলে ধনাত্বক সংখ্যা হবে। এর ফলে সংখ্যার মান বেড়ে যায়। আবার, ঋনাত্বক সংখ্যার উপর বিজোড় পাওয়ার থাকলে ঋনাত্বক সংখ্যা হয়। এজন্য মান আরও কমে যাবে।

অর্থাৎ, (-x^2)^n * (-x) = -x^2n+1

-x^2n+1< x^2n

প্রশ্নটি সঠিক নয়।
ধনাত্মক সংখ্যার বর্গ বা ঘন করলে মান বেড়ে নাও যেতে পারে। যেমনঃ 0.1 একটি ধনাত্মক সংখ্যা। এর বর্গ(0.1)^2 = 0.01 যা 0.1 এর থেকে ছোট। এর ঘন (0.1)^3 = 0.001 যা 0.1 এর থেকে ছোট।
ঋণাত্মক সংখ্যা কে ঘন করলে সবসময় এর মান কমে যায় একথাও সঠিক নয়। যেমনঃ (-0.25)^3 = -0.125 > -0.25 
আর (বাস্তব) ঋণাত্মক সংখ্যা কে বর্গ করলে কোন ভাবেই এর মান কমে যায় না।

তবে বাস্তব পূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রে (integers) ধনাত্মক integer এর বর্গ বা ঘন করলে মান বেড়ে যায় এবং ঋণাত্মক integer এর ঘন করলে মান কমে যায়। (এক্ষেত্রেও অবশ্যই ঋণাত্মক integer এর বর্গ করলে মান কমে না)।  

ধনাত্মক বা ঋণাত্মক integer বর্গ করলে মান বেড়ে যায়, এর কারণঃ
১। দুইটি ধনাত্মক integer এর গুনফল ধনাত্মক, দুইটি ঋণাত্মক integer এর গুনফলও ধনাত্মক।
২। দুইটি ঋণাত্মক integer এর গুনফল কে আমরা ঐ দুইটি ঋণাত্মক integer এর ধনাত্মক অংশের (অর্থাৎ দুইটি ধনাত্মক integer এর) গুনফলের সমান বলতে পারি।
৩। গুণের স্বাভাবিক নিয়মএ দুইটি ধনাত্মক integer এর গুণের অর্থ হল তাদের নিজেদের মধ্যে নিজেদের সমান সংখ্যক বার যোগফল। দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল অবশ্যই তাদের নিজেদের মান অপেক্ষা বেশি।

ঘনের ঝেত্ত্রেও একই ধরণের যুক্তি দিয়ে দেখান যায়, ধনাত্মক integer এর ঘন করলে মান বেড়ে যায় এবং ঋণাত্মক integer এর ঘন করলে মান কমে যায়।

Notes: 0, 1 এবং -1 ও integer. তবে 0 ও 1 ক্ষেত্রে বর্গ ও ঘন এর মান তাদের নিজেদের সমান। -1 এর ক্ষেত্রে ঘনের মান তার নিজের সমান, কিন্তু বর্গের মান বড়।