ক্যালকুলাস সম্পকে ধারণা চাই?

ক্যালকুলাস সম্পর্কে কিছু ধারনা নিম্নে দেওয়া হল

ক্যালকুলাস, প্রথম পর্ব (অস্তিত্বের শেকড় সন্ধানী)

ক্যালকুলাস বিশ্লেষণী জ্যামিতির একটি শাখা। এবং সবচাইতে সমৃদ্ধশীল অধ্যায়এর নাম । গণিত আর বিজ্ঞানের কত সমস্যা যে এটা দিয়ে সমাধান করা গেছে তার কোন ইয়ত্তা নেই। পদার্থবিদ্যার প্রায় সব থিওরিয়ের ভিত্তি বলতে গেলে এই ক্যালকুলাসই। এক কথায় বলা যায়, ক্যালকুলাসের অবদানের কথা বলে শেষ করা সম্ভব না।

কিন্তু এখনও ক্যালকুলাস কি সেটাই তো জানা গেল না। সমস্যা নেই। শুরু করছি। অন্তত এতটুকু তো বোঝা গেল যে এটা অনেক গুরুত্বপূর্ণ এবং শিখলে খুব একটা ভুল হবে না,উপকার ছাড়া।

ক্যালকুলাস জানার জন্য একটা প্রয়োজনীয় বিষয় জেনে নিতে হবে যার নাম – লিমিট। লিমিট আসলে কি?

লিমিট আবার কি? সীমা।

মনে করুন, কিছু দিন আগে আপনাকে একজন বলল, খাওয়ার একটা সীমা আছে। এর মানে আসলে কি ?

মানে হচ্ছে, আপনি যেই পরিমানে খানা পিনা শেষ করছেন সেটা প্রতিনিয়ত বেড়েই চলেছে। বাড়তে বাড়তে একটা নির্দিষ্ট পর্যায়ের যদি বেশি হয়ে যায় তবে ভয়ঙ্কর কিছু ঘটে যেতে পারে ! হয়ত আপনি ফুটে বাস্ট হয়ে যেতে পার, অতিরিক্ত খাবার খাওয়ার কারনে তাই আগে থেকেই সাবধান বানী। – খাওয়ার একটা সীমা আছে।

গনিতেও গণিতবিদরা এরকম কিছু জায়গা আছে, এরকম কিছু কাজ আছে যেগুলো করার আগে আপনাকে সাবধান করে দেবে । খবরদার ! সীমা অতিক্রম কর না । ভয়ঙ্কর কিছু ঘটে যাবে।

একটা উদাহরণ দেই – মনে করুন একটা ফাংশন আছে –

$latex F(x) = \{(x+3). (x-3)\} / (x-3) $

উপরে একটা ফাংশন দেখছি? এখানে f(x) এ x এর জায়গায় বিভিন্ন মান কিংবা সংখ্যা বসিয়ে আমরা নতুন নতুন সংখ্যা পাব। মনে রাখুন এটা কিন্তু ফাংশন। এটা কোন সমীকরণ নয় যে এখানে x এর একটা বা দুইটা মান থাকবে। এখানে x এর জায়গায় অসীম সংখ্যক মান বসতে পারে। আচ্ছা আমরা এই ফাংশনের একটা ছক তৈরি করি না কেন?

$latex x$

$latex F(x) = \{(x+3). (x-3)\} / (x-3) $

0 3

1 4

2 5

3 !?!

1 2

5 8

-4 -1

এখানে আমি x এর মাঝে এলোপাতারি কতগুলো মান বসিয়েছি । যার কারনে F(x) এর বিভিন্ন মান পেয়েছি। তাই না? কিন্তু x এর মাঝে একটা মান আমি বেশ সচেতনভাবেই বসিয়েছি। সেটা হচ্ছে 3 । কারণ আমি জানতাম x এর মাঝে 3 বসালে কেলেঙ্কারি কিছু হবে। আর তাইই হয়েছে। এই যে কেলেঙ্কারির চিহ্ন !? !

কারণ ফাংশনে 3 বসাবার আগেই অনেকে ফাংশনটাকে সুন্দর করবার জন্যে উপরে নিচে (x-3) কাটাকাটি করে দিতে পারে। এরপরে বাকি থাকবে শুধু মাত্র (x=3)। তো এখন x এরজায়গায় ৩ বসিয়ে দিলেই চলে। তবে ফাংশনের মান হবে ৬ । হয়েই তো গেল।

কিন্তু না আপনি সেটা করতে পারেন না। আপনি যখন ধরে নিচ্ছেন x এর মান 3 বসাবেন তখন কিন্তু ভুলেও (x-3) কাটাকাটি করতে পারবেন না। এটা কাটাকাটি করার অর্থ আপনি শূন্যকে শুন্য দিয়ে ভাগ করছেন। যেটা আসলে গণিতের ভাষায় একটা কেলেঙ্কারি।

০ কে ০ দিয়ে ভাগ করলে বা কাটাকাটি করলে কি ধরনের ভয়ানক জিনিস হতে পারেন একটু দেখুন –

$latex X = Y$

$latex XY = Y^2$

দুই পাশে $latex X^2$ বিয়োগ করে পাই –

$latex XY – X^2 = Y^2 – X^2 $

$latex X(Y – X) = (Y+X)(Y-X)$

এখন দুই পাশ থেকে $latex ( Y – X )$ কাটাকাটি করে ফেললে বাকি থাকে,

$latex X = X + Y$

যেহেতু X = Y কাজেই Y এর জায়গায় X লিখে পাই-

$latex X = X + X$

অর্থাৎ, $latex X = 2X$

অর্থাৎ, $latex 1 = 2$

কি ভয়ানক কথা !

আসলে এখানে, $latex X = Y$

তাই

$latex X-Y=X-X=O $

সুতরাং দুই পাশ থেকে $latex X-Y$ কাটাকাটি করলে সেটা অংকের ভাষায় অনির্ণেয় হবে। আর এই সমস্ত অনির্ণেয় সংখ্যাকে আমরা কখনও নির্ণয় করতে পারি না। ( ক্যালকুলাস জানার আগে পর্যন্ত এটাই বিশ্বাস করে নিতে হবে )

তার মানে আমরা কিন্তু $latex F(x)$ এর ক্ষেত্রে একটা জিনিস বলে দিতে পারি। তুমি x এর ক্ষেত্রে যেকোনো মান নিতে পার, সব, মান গ্রহণ করতে পার। কিন্তু এই, ভুল করেও তিনের ধারে কাছে যাবে না। 3 হচ্ছে তোমার সীমা। অর্থাৎ তুমি সব সংখ্যা নিতে পার, সবখানে যেতে পার, কিন্তু ভুলেও ৩ এর ধারে কাছে যাবে না !

অর্থাৎ আমাদের শুধু খাওয়া দাওয়া, দুষ্টামি কিংবা লুচ্চামির ক্ষেত্রেই নয় গণিতের ক্ষেত্রেও সীমা নামের একটা ব্যাপার আছে। আজকে এখানেই থাক এক দিনে এর চাইতে বেশি আর লিখতে চাচ্ছি না। তবে এরপরের পর্বে আমরা সীমার একটা সার্বজনীন সংজ্ঞা দেব। ফাংশনের সীমা কি করে বার করতে হয় সেটাও শিখব। এবং দেখব সব কিছুর আসলে সীমা নাও থাকতে পারে !

ক্যালকুলাস, ২য় পর্ব (সীমার একটা ফাজলামি আছে !)

ক্যালকুলাস নিয়ে আলোচনার দ্বিতীয় পর্বে ফিরে এলাম। এর আগের অধ্যায়ে আমরা কি দেখেছি? ০/০ এটা আসলে অনির্ণেয়। এর মান বের করা সম্ভব না। আচ্ছা আমরা গনিতে দুইটি শব্দ খুব বেশি করে শুনি, অসঙ্গায়িত আর অনির্ণেয় তাই না? কিন্তু এই শব্দ দুইটির আসল অর্থই কি আর এদের মাঝে কি কোন পার্থক্য আছে? শাব্দিক দিক থেকে তো এদের অর্থ প্রায় কাছাকাছি মনে হয়। কিন্তু না, আসলে এদের মাঝে একটা সূক্ষ্ম পার্থক্য আছে।

অসঙ্গায়িতঃ গণিতের যেই ক্যাল্কুলেশন কে আসলে কোন সংজ