In the following determine these.of values of k for which the given quadratic equation has real roots:

(i) 2x² + 3x + k = 0

For real roots,

b² - 4ac ≥ 0

⇒ 9 - 4 x 2 x k ≥ 0

⇒ 8k ≤ 9

⇒ k ≤ \(\frac{9}{8}\)

⇒ k ∈ (-∞, \(\frac{9}{8}\)].

(ii) 2x² + x + x = 0

For real roots,

b² - 4ac ≥ 0

⇒ 1 - 4 x 2 x k ≥ 0

⇒ 8k ≤ 1

⇒ k ≤ \(\frac{1}{8}\)

⇒ k ∈ (-∞, \(\frac{1}{8}\)].

(iii) 2x² - 5x - k = 0

For real roots,

b² - 4ac ≥ 0

⇒ 25 - 4 x 2 x -k ≥ 0

⇒ 8k + 25 ≥ 0

⇒ k ≥ \(\frac{-25}{8}\)

⇒  k ∈ [\(\frac{-25}{8}\),∞)

(iv) kx² + 6x + 1 = 0

For real roots,

b² - 4ac ≥ 0

⇒ 36 - 4k ≥ 0

⇒ k ≤ \(\frac{36}{4}\) = 9

⇒ k ∈ (-∞,9].

(v) 3x² + 2x + k = 0

For real roots,

b² - 4ac ≥ 0

⇒ 4 - 4 x 3 x k ≥ 0

⇒ 4 - 12k ≥ 0

⇒ 12k ≤ 4

⇒ k ≤ \(\frac{4}{12}\) 

⇒  k ∈ (-∞,\(\frac{1}{3}\)].