প্রমাণ কর f=r/2?

ধরা যাক, MPM' একটি অবতল দর্পন। C দর্পনের বক্রতার কেন্দ্র এবং P এর মেরু।  ধরা যাক CP এর নিকটবর্তী এবং সমান্তরাল AM রশ্মি দর্পনের উপর M বিন্দুতে আপতিত হয়। CM যোগ করা হলো। CM দর্পনের বক্রতার ব্যাসার্ধ বলে এটি M বিন্দুতে দর্পনের ওপর লম্ব। এখন আপতন কোণ <AMC এর সমান করে <CMF কোণ অঙ্কন করলে MF প্রতিফলিত রশ্মি পাওয়া যায়। এই প্রতিফলিত রশ্মি প্রধান অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে। সংজ্ঞানুসারে F অবতল দর্পনের প্রধান ফোকাস। এখন প্রতিফলনের সূত্রানুসারে,

<AMC=<CMF

আবার AM এবং CP পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায়, <AMC=<MCF [একান্তর কোণ বলে]

বা, <CMF=<MCF

অতএব, MCF একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সুতরাং, MF=FC

এখানে M বিন্দু P বিন্দুর খুব নিকটবর্তী হওয়ায় MF=PF লেখা যায়।

অতএব, PF=FC

অতএব, F, PC এর মধ্যবিন্দু।

সুতরাং PF = PC/2; কিন্তু ফোকাস দূরত্ব PF=f এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ PC=r

সুতরা, f=r/2