"স্রডিন্ঞ্জার তরঙ্গ সমীকরণ"?

আলো-কোয়ান্টামের শক্তিকে প্লাঙ্ক বর্ণনা করেছিলেন  হিসেবে, আর আইনস্টাইনের তত্ত্ব থেকে পাওয়া গেল । এখানে h হচ্ছে প্লাঙ্কের ধ্রুবক, p ভরবেগ, c হল আলোর গতিবেগ এবং  হচ্ছে কোন তরঙ্গের কম্পাঙ্ক। অন্যদিকে যেখানে λ হল সেই তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ । কাজেই এটাকেই দ্যব্রগলির সম্পর্ক বা নীতি বলা হয়। দ্যব্রগলি আরো বললেন এই সম্পর্ক যে কোন রৈখিক ভরবেগ p সম্পন্ন গতিশীল কণার ক্ষেত্রে খাটবে। আর তাই যে কোন চলন্ত কণার তরঙ্গ বৈশিষ্ট থাকবে। এর ওপর ভিত্তি করে তাঁর একটি ভাবীকথন ছিল – একটি ইলেকট্রনের রশ্মিকে বিচ্ছুরণ করানো যাবে।

[২] সহজ কথায় বিচ্ছুরণ হচ্ছে কোন তরঙ্গ বাধাগ্রস্থ হলে সেই তরঙ্গ বেঁকে যাবে। দ্যব্রগলি বললেন আলোর মত ইলেকট্রনকে একটি সরু ফাটলের মধ্য দিয়ে পাঠালে তার বিচ্ছুরণ হবে। ১৯২৫ সনে ডাভিসন ও গেরমার বড় নিকেলের কেলাসের মাঝে ইলেকট্রনের বিচ্ছুরণ অবলোকন করলেন। কণারও যে তরঙ্গ বৈশিষ্ট আছে সেটা প্রমাণ হল। সেই বছরই অস্ট্রিয়ান বিজ্ঞানী আরউইন শ্রোডিঞ্জার জুরিখে দ্যব্রগলির অনুকল্পের ওপর একটি সেমিনার দেন, সেই সেমিনারে ওলন্দাজ বিজ্ঞানী পিটার দিবাই (হয়তো উচ্চারণ হবে দিবে) উপস্থিত ছিলেন। দিবাই নাকি সেখানে মন্তব্য করেছিলেন, ইলেকট্রন যদি তরঙ্গই হয় তবে তার জন্য একটা তরঙ্গ সমীকরণ সৃষ্টি করতে হবে।

এই সমীকরণটিকে আহরণ করার একটা সহজ পদ্ধতি শ্রোডিঞ্জার দিয়ে গেছেন। তিনি শুরু করেছিলেন ধ্রুপদী তরঙ্গ সমীকরণ দিয়ে যা কিনা স্থান (দেশ) ও সময়ের সাথে যে কোন তরঙ্গের পরিবর্তনকে বর্ণনা করে। তাই ধ্রুপদী সমীকরণকে আবার দুটো ভাগে ভাগ করা যাবে। একটি ভাগ হচ্ছে শুধুমাত্র স্থান বা দেশ নির্ভর। অন্যটি সময় নির্ভর। শুধুমাত্র স্থান-নির্ভর ধ্রুপদী তরঙ্গ সমীকরণকে এই ভাবে লেখা যেতে পারে -

এখানে  কে বলা হয় লাপ্লাসিয়ান অপরেটর।

k =2π/λ হচ্ছে তরঙ্গ ভেক্টর যেখানে λ হল তরঙ্গদৈর্ঘ। (১) নম্বর সমীকরণটির অনেক ধরণের সমাধান সম্ভব, অর্থাৎ ψ তরঙ্গ ফাংশান নানাবিধ রূপ নিতে পারে, সাইন ও কোসাইন ফাংশান থেকে আরম্ভ করে বহু জটিল ধরণের ফাংশান এই সমীকরণের উত্তর হতে পারে।

আমরা আগেই দেখেছি দ্যব্রগলির ধারণা অনুযায়ী λ = h/p, যেখানে h হল তরঙ্গ-কণার রৈখিক ভরবেগ। আমরা যদি অনাপেক্ষিক তত্ত্ব অনুযায়ী ধরে নিই p = mv যেখানে m হচ্ছে কণার ভর। কাজেই

তাহলে

(২)

কণাটির পুরো শক্তির পরিমাণ হল তার গতিশক্তি ও স্থিতিশক্তির (V) সমষ্টি।

দেখাই যাচ্ছে ওপরের সমীকরণটি আমরা এইভাবে লিখতে পারি

আর এটাকে (২) নম্বর সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করলে আমরা পাব

অথবা


( এখানে ; কে এইচ বার উচ্চারণ করা হয়। (৩) নম্বর সমীকরণকে শ্রোডিঞ্জারের সময়-নিরপেক্ষ ত্রিমাত্রিক সমীকরণ বলা হয়। শ্রোডিঞ্জারের আদি ডিরাইভেশন অনেকটা এরকমই ছিল, ধ্রুপদী তরঙ্গ সমীকরণে তরঙ্গদৈর্ঘকে দ্যব্রগলি অনুকল্প অনুযায়ী বদলে দেওয়া। এর পরে বহুজন বহুভাবে এই সমীকরণ ডিরাইভ করেছেন, শ্রোডিঞ্জার নিজেও তার আবিষ্কার একটু ভিন্নভাবে উপস্থাপনা করেছিলেন। কিন্তু এর মূলে তরঙ্গকে তরঙ্গ-কণা হিসেবে দেখার বিবেচনাটা প্রাধাণ্য পেয়েছিল।