একটা স্কুলে ১০০ জন ছাত্র পড়ত.একদিন পাগলাটে হেড মাস্টার ১০০টি দরজা বদ্ধ সিন্দুক স্কুলের মাঠে জড়ো করলেন।যেগুলোর ওপর সিরিয়াল নম্বর দেওয়া ছিল।উপস্থিত ১০০ জনকেই মাঠে ডাকলেন।যার রোল ১ তাকে সবগুলো দরজা খুলতে বললেন।এরপর যার রোল ২ তাকে ২য়,৪র্থ,৬ষ্ঠ,৮ম...এই সিন্দুক গুলোকে বন্ধ করতে বললেন। এরপর রোল ৩ কে বললেন ৩,৬,৯..এই ধারায় যতগুলো সিন্দুক আছে সেগুলো বন্ধ থাকলে খুলতে,খোলা থাকলে বন্ধ করতে। এরপর একই ভাবে সব ছাত্রকেই পর্যায়ক্রমে একই কাজ করতে হল তাদের রোলের অন্তর অন্তর সিন্দুকগুলো খোলা থাকলে বন্ধ করা,আর বন্ধ থাকলে খুলে দেওয়া। কোন ছাত্র যদি ভূল না করে তবে শেষ পর্যন্ত কতগুলো সিন্দুক খোলা ছিল?
বিভাগ:
2 টি উত্তর
শেষ পর‍্যন্ত ৪০টি দরজা খোলা ছিল।
শেষ পর্যন্ত ১০টি সিন্ধুক খোলা ছিল।
ব্যাখ্যা:
বিষয়টি বোঝার জন্য ১০জন ছাত্র ও ১০টি সিন্ধুক বিবেচনা করি। 
image

   সিন্ধুক

 

২ 

৩ 

 

 ৫

৬ 

৭ 

৮ 

 

 ১০

 যেসব রোল দারা  হয়েছে

১ 

 ১,২

 ১,৩

১,২,৪ 

১,৫ 

১,২,৩,৬ 

১,৭ 

১,২,৪,৮ 

১,৩,৯ 

 ১,২,৫,১০

সংখ্যা 

 

 ২

 ২

 

 ২

৪ 

 ২

 ৪

 

৪ 

ফলাফল

 খোলা

বন্ধ

 বন্ধ

 খোলা

 বন্ধ

বন্ধ 

বন্ধ 

 বন্ধ

খোলা 

বন্ধ 

অর্থাৎ যেসব সিন্ধুক বিজোড় সংখ্যক বার কাজ করা হয়েছে সেগুলো খোলা। কেননা জোড় সংখ্যক বার করা হলে হয়(খোলা,বন্ধ,খোলা,বন্ধ,.......)।আর বিজোড় সংখ্যক বার করা হলে হয়(খোলা,বন্ধ,খোলা,বন্ধ,খোলা,.......)। তাই যেসব সিন্ধুক বিজোড় সংখ্যক বার কাজ করা হয়েছে সেগুলো খোলা থাকবে। আর যেসব সিন্ধুক বিজোড় সংখ্যক বার কাজ করা হয়েছে সেগুলো হচ্ছে ১,৪ ও ৯। আবার, ১,৪ ও ৯ হচ্ছে পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 

তাই ১০০টি সিন্ধুকের ক্ষেত্রে ১০টি দরজা খোলা থাকে। সেগুলো হচ্ছে- ১,৪,৯,১৬,২৫,৩৬,৪৯,৬৪,৮১ ও ১০০।